總結(jié)是把一定階段內(nèi)的有關(guān)情況分析研究，做出有指導性結(jié)論的書面材料，它是增長才干的一種好辦法，讓我們抽出時間寫寫總結(jié)吧。那么如何把總結(jié)寫出新花樣呢？下面是小編整理的線性代數(shù)知識點總結(jié)，歡迎大家分享。
線性代數(shù)在考研數(shù)學中占有重要地位，必須予以高度重視.線性代數(shù)試題的特點比較突出，以計算題為主，證明題為輔，因此，太奇考研專家們提醒廣大的20__年的考生們必須注重計算能力.線性代數(shù)在數(shù)學一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，學好線代也是必要的。下面，就將線代中重點內(nèi)容和典型題型做了總結(jié)，希望對20__年考研的同學們學習有幫助。
行列式在整張試卷中所占比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內(nèi)容，不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運算，與行列式有關(guān)的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式.如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，必然會在其他章、節(jié)的試題中得以體現(xiàn).行列式的重點內(nèi)容是掌握計算行列式的方法，計算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開公式將行列式降階.但在展開之前往往先用行列式的性質(zhì)對行列式進行恒等變形，化簡之后再展開.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三對角行列式、爪型行列式等等)的計算方法也應(yīng)掌握.常見題型有：數(shù)字型行列式的計算、抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算.關(guān)于每個重要題型的具體方法以及例題見《20__年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學120種?？碱}型精解》。
矩陣是線性代數(shù)的核心，是后續(xù)各章的基礎(chǔ).矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數(shù)的始終.這部分考點較多，重點考點有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程.涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題.這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題.常見題型有以下幾種：計算方陣的冪、與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題、有關(guān)初等變換的命題、有關(guān)逆矩陣的計算與證明、解矩陣方程。
向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重點，也是考研的重點。考生一定要吃透向量組線性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，還應(yīng)與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個側(cè)面加強對線性相關(guān)性的理解.常見題型有：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關(guān)的命題。
往年考題中，方程組出現(xiàn)的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數(shù)部分考查的重點內(nèi)容.本章的重點內(nèi)容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明、齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對參數(shù)取值的討論).主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)、兩個方程組的公共解、同解問題。
特征值、特征向量是線性代數(shù)的重點內(nèi)容，是考研的重點之一，題多分值大，共有三部分重點內(nèi)容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化.重點題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求A、有關(guān)實對稱矩陣的問題。
由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應(yīng)的，所以二次型的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為它的實對稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎(chǔ).重點內(nèi)容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標準形等概念;了解二次型的規(guī)范形和慣性定理;掌握用正交變換并會用配方法化二次型為標準形;理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法.重點題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標準形、二次型正定性的判別。
一、行列式與矩陣
行列式、矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，從命題人的角度來看，可以像潤滑油一般結(jié)合其它章節(jié)出題，因此必須熟練掌握。
行列式的核心內(nèi)容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型，主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行(列)展開定理化為上下三角行列式求解;而對于抽象行列式而言，考點不在如何求行列式，而在于結(jié)合后面章節(jié)內(nèi)容的相對綜合的題。
矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣的基本性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。
二、向量與線性方程組
向量與線性方程組是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨立，可以看作是對核心內(nèi)容的擴展。
向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復習這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。
這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節(jié)的各種內(nèi)在聯(lián)系。
(1)齊次線性方程組與向量線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系
齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。
齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解;②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)、無關(guān)的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線性方程組是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)?？梢栽O(shè)想線性相關(guān)、無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。
(2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系
同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”。經(jīng)過 “秩→線性相關(guān)、無關(guān)→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關(guān)時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。
(3)非齊次線性方程組與線性表出的聯(lián)系
非齊次線性方程組是否有解對應(yīng)于向量是否可由列向量
三、特征值與特征向量
相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)性，“牽一發(fā)而動全身”。
本章知識要點如下：
1. 特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。
2. 相似矩陣及其性質(zhì)，需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：
3. 矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征值;二是任意r重特征根對應(yīng)有r個線性無關(guān)的特征向量。
4. 實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似于以其特征值為對角元素的對角陣。
四、二次型
這部分所講的內(nèi)容從根本上講是特征值和特征向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣，必存在正交矩陣，使其可以相似對角化”，其過程就是上一章實對稱矩陣相似對角化的應(yīng)用。
本章核心要點如下：
1. 用正交變換化二次型為標準型。
2. 正定二次型的判斷與證明。
第一章行列式
知識點1：行列式、逆序數(shù)
知識點2：余子式、代數(shù)余子式
知識點3：行列式的性質(zhì)
知識點4：行列式按一行（列）展開公式
知識點5：計算行列式的方法
知識點6：克拉默法則
第二章矩陣
知識點7：矩陣的概念、線性運算及運算律
知識點8：矩陣的乘法運算及運算律
知識點9：計算方陣的冪
知識點10：轉(zhuǎn)置矩陣及運算律
知識點11：伴隨矩陣及其性質(zhì)
知識點12：逆矩陣及運算律
知識點13：矩陣可逆的判斷
知識點14：方陣的行列式運算及特殊類型的矩陣的運算
知識點15：矩陣方程的求解
知識點16：初等變換的概念及其應(yīng)用
知識點17：初等方陣的概念
知識點18：初等變換與初等方陣的關(guān)系
知識點19：等價矩陣的概念與判斷
知識點20：矩陣的子式與最高階非零子式
知識點21：矩陣的秩的概念與判斷
知識點22：矩陣的秩的性質(zhì)與定理
知識點23：分塊矩陣的概念與運算、特殊分塊陣的運算
知識點24：矩陣分塊在解題中的技巧舉例
第三章向量
知識點25：向量的概念及運算
知識點26：向量的線性組合與線性表示
知識點27：向量組之間的線性表示及等價
知識點28：向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念
知識點29：線性表示與線性相關(guān)性的關(guān)系
知識點30：線性相關(guān)性的判別法
知識點31：向量組的最大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念
知識點32：矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系
知識點33：求向量組的最大無關(guān)組
知識點34：有關(guān)向量組的定理的綜合運用
知識點35：內(nèi)積的概念及性質(zhì)
知識點36：正交向量組、正交陣及其性質(zhì)
知識點37：向量組的正交規(guī)范化、施密特正交化方法
知識點38：向量空間（數(shù)一）
知識點39：基變換與過渡矩陣（數(shù)一）
知識點40：基變換下的坐標變換（數(shù)一）
第四章線性方程組
知識點41：齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)
知識點42：非齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)
知識點43：非齊次線性線性方程組解的各種情形
知識點44：用初等行變換求解線性方程組
知識點45：線性方程組的公共解、同解
知識點46：方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運算的關(guān)系
知識點47：方程組、矩陣與向量之間的聯(lián)系及其解題技巧舉例
第五章矩陣的特征值與特征向量
知識點48：特征值與特征向量的概念與性質(zhì)
知識點49：特征值和特征向量的求解
知識點50：相似矩陣的概念及性質(zhì)
知識點51：矩陣的相似對角化
知識點52：實對稱矩陣的相似對角化.
知識點53：利用相似對角化求矩陣和矩陣的冪
第六章二次型
知識點54：二次型及其矩陣表示
知識點55：矩陣的合同
知識點56 : 矩陣的等價、相似與合同的關(guān)系
知識點57：二次型的標準形
知識點58：用正交變換化二次型為標準形
知識點59：用配方法化二次型為標準形
知識點60：正定二次型的概念及判斷
行列式
一、行列式概念和性質(zhì)
1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)
2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和
3、行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式）
（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變
（2）兩行（列）互換，行列式變號
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。
（6）兩行成比例，行列式的值為0。
二、重要行列式
1、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積
2、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘
3、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則
4、n階（n≥2）范德蒙德行列式
★5、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：
三、按行（列）展開
1、按行展開定理：
（1）任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0
四、克萊姆法則
1、克萊姆法則：
（1）非齊次線性方程組的'系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解
（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數(shù)行列式必為0
（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。
矩陣
一、矩陣的運算
1、矩陣乘法注意事項：
（1）矩陣乘法要求前列后行一致；
（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A__,f(A)時，可以用交換律）
（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
二、矩陣的逆運算
1、逆的求法：
（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解
（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）
三、矩陣的初等變換
1、初等行（列）變換定義：
（1）兩行（列）互換；
（2）一行（列）乘非零常數(shù)c
（3）一行（列）乘k加到另一行（列）
★四、矩陣的秩
1、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)
注：
（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O
（2）r（An×n）=n（滿秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。
2、秩的求法：
（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；
（2）A為數(shù)字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)
五、伴隨矩陣
六、分塊矩陣
1、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。
2、分塊矩陣求逆：
向量
一、向量的概念及運算
1、長度定義：||α||=
二、線性組合和線性表示
1、線性表示的充要條件：
非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示
(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。
★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）
2、線性表示的充分條件：
若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，α1，α2，…，αs，β線性相關(guān)，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。
3、線性表示的求法：（大題第二步）
設(shè)α1，α2，…，αs線性無關(guān)，β可由其線性表示。
（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡形|系數(shù)）
行最簡形：每行第一個非0的數(shù)為1，其余元素均為0
三、線性相關(guān)和線性無關(guān)
1、線性相關(guān)注意事項：
（1）α線性相關(guān)←→α=0
（2）α1，α2線性相關(guān)←→α1，α2成比例
2、線性相關(guān)的充要條件：
向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)
（1）←→有個向量可由其余向量線性表示；
（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；
★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于個數(shù)
3、線性相關(guān)的充分條件：
（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)
（4）以少表多，多必相關(guān)
★推論：n+1個n維向量一定線性相關(guān)
4、線性無關(guān)的充要條件：
向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)
（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；
（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解
（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s
特別地，n個n維向量α1，α2，…，αn線性無關(guān)
←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩陣可逆
5、線性無關(guān)的充分條件：
（1）整體無關(guān)，部分無關(guān)
（2）低維無關(guān)，高維無關(guān)
（3）正交的非零向量組線性無關(guān)
（4）不同特征值的特征向量無關(guān)
6、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定
（1）定義法
★（2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)
四、極大線性無關(guān)組與向量組的秩
1、極大線性無關(guān)組不唯一
2、向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩
對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)
★注:
向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等
★3、極大線性無關(guān)組的求法
（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法
（2）α1，α2，…，αs為數(shù)字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣
則每行第一個非零的數(shù)對應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組
五、Schmidt正交化
1、Schmidt正交化
設(shè)α1，α2，α3線性無關(guān)
（1）正交化
令β1=α1
（2）單位化
線性方程組
一、解的判定與性質(zhì)
1、齊次方程組：
（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個數(shù)）
（2）有非零解←→r（A）＜n
2、非齊次方程組：
（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1
（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n
（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n
3、解的性質(zhì)：
（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解
（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解
二、基礎(chǔ)解系
★1、重要結(jié)論：（證明也很重要）
設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O
（1）B的列向量均為方程Ax=0的解
（2）r（A）+r（B）≤n
2、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法
（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（A）個線性無關(guān)的解
（2）A為數(shù)字的：A→初等行變換→階梯型
自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系
三、解的結(jié)構(gòu)（通解）
1、齊次線性方程組的通解（所有解）
設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，
則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）
2、非齊次線性方程組的通解
設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，η為Ax=b的特解，
則Ax=b的通解為η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）
特征值與特征向量
一、矩陣的特征值與特征向量
1、特征值、特征向量的定義：
設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。
2、特征多項式、特征方程的定義：
|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。
|λE-A |=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以寫為|A-λE|=0
3、重要結(jié)論：
（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量
（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。
（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。
△4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法
（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊
（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解
5、特征方程法：
（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn
注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數(shù)，不能省略)
（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系（共n-r（λiE-A）個解）
二、相似矩陣
1、相似矩陣的定義：
設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B
2、相似矩陣的性質(zhì)
（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似
（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似
（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）
三、矩陣的相似對角化
1、相似對角化定義：如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=
稱A可相似對角化。
2、相似對角化的充要條件
（1）A有n個線性無關(guān)的特征向量
（2）A的k重特征值有k個線性無關(guān)的特征向量
3、相似對角化的充分條件：
（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)）
（2）A為實對稱矩陣
4、重要結(jié)論：
（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數(shù)，n-r（A）為零特征值的個數(shù)
（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數(shù)
四、實對稱矩陣
1、性質(zhì)
（1）特征值全為實數(shù)
（2）不同特征值的特征向量正交
（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ
（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ
二次型
一、二次型及其標準形
1、二次型：
（1）一般形式
（2）矩陣形式（常用）
2、標準形：
如果二次型只含平方項，這樣的二次型稱為標準形（對角線）
3、二次型化為標準形的方法：
（1）配方法：
★（2）正交變換法：
二、慣性定理及規(guī)范形
1、定義：
正慣性指數(shù)：標準形中正平方項的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；
負慣性指數(shù)：標準形中負平方項的個數(shù)稱為負慣性指數(shù)，記為q；
2、慣性定理：
二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數(shù)不變。
注：
（1）由于正負慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。
（2）p=正特征值的個數(shù)，q=負特征值的個數(shù)，p+q=非零特征值的個數(shù)=r（A）
三、合同矩陣
1、定義：
A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同
△2、總結(jié)：n階實對稱矩陣A、B的關(guān)系
（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值
（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數(shù)←→相同的正負特征值的個數(shù)
（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）
注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價
四、正定二次型與正定矩陣
1、正定的定義
二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。
2、n元二次型xTAx正定充要條件：
（1）A的正慣性指數(shù)為n
（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E
（3）A的特征值均大于0
（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）
3、總結(jié)：二次型正定判定（大題）
（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0
（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定
4、重要結(jié)論：
（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A__正定
（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定
線性代數(shù)的學習切入點是線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。
線性方程組
線性方程組的特點：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個數(shù)n可以相同，也可以不同。
關(guān)于線性方程組的解，有三個問題值得討論：
1、方程組是否有解，即解的存在性問題；
2、方程組如何求解，有多少個；
3、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。
高斯消元法
這最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：
1、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；
2、交換某兩個方程的位置；
3、用某個常數(shù)k乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。
任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。
由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。
對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。
可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。
系數(shù)矩陣和增廣矩陣
高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應(yīng)的.是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。
階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。
對不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)d=0這一項，則方程組無解，若未出現(xiàn)d=0一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解；若r<n，則方程組有無窮多解。
在利用初等變換得到階梯型后，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習慣。
齊次方程組
常數(shù)項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。
齊次方程組的方程組個數(shù)若小于未知量個數(shù)，則方程組一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題：解的存在性問題和如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點建立起來的最基本理論。
對于n個方程n個未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數(shù)決定，是一個數(shù)。
通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號、有兩行對應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計算行列式。
用系數(shù)行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。
總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時引出的一部分內(nèi)容。
線性代數(shù)占考研數(shù)學總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現(xiàn)。雖然線性代數(shù)的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。
矩陣的秩
矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數(shù)的重點內(nèi)容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來解決實際應(yīng)用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區(qū)別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎(chǔ)上，聯(lián)系地看問題，及時總結(jié)結(jié)論。
矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標準化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應(yīng)的特征向量)，會處理含參數(shù)的情況。
線性方程組求解
對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點，對方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如20__年第20題(數(shù)學二為22題)，已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。
二次型標準化與正定判斷
二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運算中節(jié)省時間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
歷年考研數(shù)學真題解析線性代數(shù)命題特點解析
考研數(shù)學是研究生招生入學考試中通過筆試的形式對考生數(shù)學功底的考查，從近幾年的考研數(shù)學歷年真題分析結(jié)果來看，可以得出一個結(jié)論：線性代數(shù)的難度在高數(shù)和概率統(tǒng)計之間，且大多數(shù)的同學認為線性代數(shù)試題難度不大，就是計算量稍微偏大點，線代代數(shù)的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過程中需要利用一些性質(zhì)進行輔助解決。
線性代數(shù)的學科特點是知識點之間的綜合性比較強，這也是它本身的一個難點。這就需要同學們在復習過程中，注意對于知識點間的關(guān)聯(lián)性進行對比著學習，有助于鞏固知識點且不易混淆。
總體來說，線性代數(shù)主要包括六部分的內(nèi)容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。
一、行列式部分，熟練掌握行列式的計算。
行列式實質(zhì)上是一個數(shù)或含有字母的式子，如何把這個數(shù)算出來，一般情況下很少用行列式的定義進行求解，而往往采用行列式的性質(zhì)將其化成上或下三角行列式進行計算，或是采用降階法(按行或按列展開定理)，甚至有時兩種方法同時用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算等等。同學們只要掌握了基本方法即可。
二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應(yīng)用。
通過考研數(shù)學歷年真題分類統(tǒng)計與考點分布，矩陣部分的考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關(guān)系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識點。涉及秩的應(yīng)用，包含秩與矩陣可逆的關(guān)系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價與向量組等價的區(qū)別與聯(lián)系，系數(shù)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析。
三、向量部分，理解相關(guān)無關(guān)概念，靈活進行判定。
向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點。要求考生掌握線性相關(guān)、線性表出、線性無關(guān)的定義。以及如何判斷向量組線性相關(guān)及線性無關(guān)的方法。 向量組的秩和極大無關(guān)組以及向量組等價這些重要的知識點要求同學們一定一定掌握到位。
這是線性代數(shù)前三個內(nèi)容的命題特點，而行列式的矩陣是整個線性代數(shù)的基礎(chǔ)，對于行列式的計算及矩陣的運算與一些重要的性質(zhì)與結(jié)論請考生朋友們一定要務(wù)必掌握，否則的話，對于后面四部分的學習會越學越難，希望同學們在復習過程中一定注意前面內(nèi)容的復習，為后面的考研數(shù)學復習打好基礎(chǔ)。
前面我們已經(jīng)分析過，考研數(shù)學線性代數(shù)這門學科整體的特點是知識點之間的綜合性比較強，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認為考研數(shù)學線性代數(shù)不好學，根本找不到復習的頭緒，做題時也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。
這里，老師要求大家在學習過程中一定要注意知識間之間的關(guān)聯(lián)性，理解概率的實質(zhì)。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)聯(lián)，矩陣等價與向量組等價的區(qū)別，矩陣等價、相似、合同三者之間的區(qū)別與聯(lián)系、矩陣相似對角化與實對稱矩陣正交變換對角化二者之間的區(qū)別與聯(lián)系等等。若是同學們對于上面的問題根本分不清楚，則說明大家對于基本概念、基本方法還沒有完全理解透徹。不過，大家也不要太焦急，希望同學們在后期的復習過程中對于基本概念、基本方法要多加理解和體會，學習一定要有心得。
下面我們分析一下后面三部分的內(nèi)容，線性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點。
線性方程組，會求兩類方程組的解。線性方程組是線性代數(shù)這么學科的核心和樞紐，很多問題的解決都離不開解方程組。因而線性方程組解的問題是每年必考的知識點。對于齊次線性方程組，我們需要掌握基礎(chǔ)解系的概念，以及如何求一個方程組的基礎(chǔ)解系。清楚明了基礎(chǔ)解系所含線性無關(guān)解向量的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系。會判斷非齊次線性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線性方程組與其對應(yīng)的齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。
特征值與特征向量，掌握矩陣對角化的方法。這一部分是理論性較強的，理解特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，矩陣相似的定義，矩陣對角化的定義。同學們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會判斷一個矩陣是否可以對角化，若可以的話，需要把相應(yīng)的可逆矩陣P求出來。還需要注意矩陣及其關(guān)聯(lián)矩陣(轉(zhuǎn)置、逆、伴隨、相似)的特征值與特征向量的關(guān)系。反問題也是喜歡考查的一類題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。
二次型，理解二次型標準化的過程，掌握實對稱矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標準化。掌握二次型的標準形與規(guī)范型之間的區(qū)別與聯(lián)系。會判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價、相似、合同的關(guān)系。
雖然線性代數(shù)在考研數(shù)學考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學們在復習過程中需要對于基礎(chǔ)知識點理解透徹，做考研數(shù)學題過程中多分析總結(jié)。
20__考研數(shù)學概率解題9大常用思路
在考研數(shù)學一和考研數(shù)學三中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分大約占22%，雖然所占比重較小，但是大家在復習的時候，一樣會感到困難重重，特別是在做習題以及解決實際應(yīng)用方面遇到的困難會更多一些。為了幫助大家在解題時更輕松一點，小編給大家分享一些考研數(shù)學概率解題常用思路集錦。
1、如果要求的是若干事件中“至少”有一個發(fā)生的概率，則馬上聯(lián)想到概率加法公式;當事件組相互獨立時，用對立事件的概率公式。
2、若給出的試驗可分解成(0-1)的n重獨立重復試驗，則馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式
3、若某事件是伴隨著一個完備事件組的發(fā)生而發(fā)生，則馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關(guān)鍵：尋找完備事件組。
4、若題設(shè)中給出隨機變量X~N則馬上聯(lián)想到標準化~N(0，1)來處理有關(guān)問題。
5、求二維隨機變量(X，Y)的邊緣分布密度的問題，應(yīng)該馬上聯(lián)想到先畫出使聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內(nèi)畫一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而的求法類似。
6、欲求二維隨機變量(X，Y)滿足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應(yīng)該馬上聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及滿足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區(qū)域的公共部分。
7、涉及n次試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問題，馬上要聯(lián)想到對X作(0-1)分解。即令
8、凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)滿足某種關(guān)系的概率(或已知概率求隨機變量個數(shù))的問題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。
9、若為總體X的一組簡單隨機樣本，則凡是涉及到統(tǒng)計量的分布問題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義進行討論。
20__考研數(shù)學線性代數(shù)知識點整理
第一章行列式
1、行列式的定義
2、行列式的性質(zhì)
3、特殊行列式的值
4、行列式展開定理
5、抽象行列式的計算
第二章矩陣
1、矩陣的定義及線性運算
2、乘法
3、矩陣方冪
4、轉(zhuǎn)置
5、逆矩陣的概念和性質(zhì)
6、伴隨矩陣
7、分塊矩陣及其運算
8、矩陣的初等變換與初等矩陣
9、矩陣的等價
10、矩陣的秩
第三章向量
1、向量的概念及其運算
2、向量的線性組合與線性表出
3、等價向量組
4、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)
5、極大線性無關(guān)組與向量組的秩
6、內(nèi)積與施密特正交化
7、n維向量空間(數(shù)學一)
第四章線性方程組
1、線性方程組的克萊姆法則
2、齊次線性方程組有非零解的判定條件
3、非齊次線性方程組有解的判定條件
4、線性方程組解的結(jié)構(gòu)
第五章矩陣的特征值和特征向量
1、矩陣的特征值和特征向量的概念和性質(zhì)
2、相似矩陣的概念及性質(zhì)
3、矩陣的相似對角化
4、實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣
第六章二次型
1、二次型及其矩陣表示
2、合同變換與合同矩陣
3、二次型的秩
4、二次型的標準型和規(guī)范型
5、慣性定理
6、用正交變換和配方法化二次型為標準型
7、正定二次型及其判定